Sur Une Généralisation De La Notion De Système Dynamique De Rang Un Définie Par Une Propriété De Pistage (on a Weak Version of the Rank One Property Defined by Shadowing) Jérôme Buzzi

We investigate a shadowing property which appears naturally in the study of piecewise monotonic maps of the interval. It turns out to be a weak form of the rank one property, a well-known notion in abstract ergodic theory. We show that this new property is implied by finite or even local rank, but that it is logically independent of loose Bernoulliness. We give (counter)examples, including L.B. systems with arbitrarily high-order polynomial complexity. The shadowing property defines a small subset of all zero-entropy systems, in the sense that it defines a closed set with empty interior with respect to the d̄-metric, induced by the Hamming distance. We also make some remarks on the link between the shadowed system and the sequence assumed by the shadowing property. Résumé. Nous étudions une propriété de pistage qui apparâıt naturellement dans l’étude des applications monotones par morceaux sur l’intervalle. Cette propriété s’avère être un affaiblissement de la notion de rang un, notion bien connue en théorie ergodique abstraite. Nous montrons que cette nouvelle propriété est impliquée par le rang fini ou même local, mais qu’elle est logiquement indépendante de la lâche Bernoullicité. Nous donnons des (contre)exemples, en particulier un système L.B. ayant une complexité d’ordre polynômial arbitrairement élevé. La propriété de pistage définit une petite partie de tous les systèmes d’entropie nulle en ce qu’il s’agit d’un fermé d’intérieur vide au sens de la métrique d̄, induite par la distance de Hamming. Nous faisons également quelques remarques sur le lien entre le système dynamique pisté et la suite pistante. ∗ Travail en partie effectué au Laboratoire de Topologie de Dijon, UMR 5584. 1991 Mathematics Subject Classification. Primary 58F11,28D20.